Lois de Kirchhoff (nœuds et mailles)

Prérequis

Connaissance des concepts de base de l'électricité : tension, courant, résistance, et loi d'Ohm. Familiarité avec la représentation schématique des circuits électriques.

Explication théorique

INTRODUCTION : Les lois de Kirchhoff ont été formulées en 1845 par Gustav Kirchhoff et constituent la base de l'analyse des circuits électriques. Elles permettent de résoudre des réseaux électriques complexes en établissant un système d'équations basé sur la topologie du circuit et les valeurs des composants. LOI DES NŒUDS (OU PREMIÈRE LOI DE KIRCHHOFF) : La loi des nœuds, également appelée loi des courants de Kirchhoff (LCK), est basée sur le principe de conservation de la charge électrique. Elle stipule que la somme algébrique des courants entrants et sortants d'un nœud est égale à zéro. En d'autres termes, toute la charge électrique qui arrive à un nœud doit le quitter, aucune charge ne peut être accumulée ou détruite à l'intérieur du nœud. Un nœud est un point de connexion dans un circuit où au moins trois conducteurs (ou branches) se rencontrent. Pour appliquer cette loi, il est conventionnel d'attribuer un sens arbitraire à chaque courant dans le circuit. Si un courant est défini comme entrant dans le nœud, il est généralement considéré comme positif. Si un courant est défini comme sortant du nœud, il est considéré comme négatif. La convention inverse est également possible, l'important est de rester cohérent. Mathématiquement, pour un nœud donné, la loi s'écrit : Σ I_entrants = Σ I_sortants ou Σ I_k = 0 (où la somme est algébrique et k représente les courants de chaque branche connectée au nœud). LOI DES MAILLES (OU DEUXIÈME LOI DE KIRCHHOFF) : La loi des mailles, également appelée loi des tensions de Kirchhoff (LTK), est basée sur le principe de conservation de l'énergie. Elle stipule que la somme algébrique des tensions le long de toute maille fermée d'un circuit est égale à zéro. Cela signifie que l'énergie gagnée par les charges traversant une source de tension doit être dissipée ou stockée par d'autres composants le long de la même maille. Une maille est un chemin fermé dans un circuit qui part d'un point et y revient sans passer deux fois par le même nœud ni le même composant. Pour appliquer cette loi, il faut choisir un sens de parcours arbitraire (horaire ou anti-horaire) pour chaque maille. Une tension est considérée comme positive si son sens de parcours va du potentiel négatif vers le potentiel positif (montée de tension, par exemple en traversant une source dans le sens générateur). Elle est considérée comme négative si le sens de parcours va du potentiel positif vers le potentiel négatif (chute de tension, par exemple aux bornes d'une résistance dans le sens du courant). Mathématiquement, pour une maille donnée, la loi s'écrit : Σ U_k = 0 (où la somme est algébrique et k représente les tensions aux bornes des composants de la maille). APPLICATIONS COMBINÉES : Les lois de Kirchhoff sont souvent utilisées conjointement avec la loi d'Ohm (U = R × I) pour résoudre des systèmes d'équations. Un circuit avec 'n' nœuds (distincts du nœud de référence) et 'm' mailles indépendantes peut généralement être résolu en écrivant (n-1) équations de nœuds et un certain nombre d'équations de mailles pour obtenir un système linéaire d'équations permettant de trouver tous les courants et tensions inconnus du circuit. Ces méthodes constituent la base de l'analyse nodale et de l'analyse de mailles, des outils puissants en électrotechnique.

Formules

• Σ I_k = 0

  Loi des nœuds : La somme algébrique des courants (I_k) entrants et sortants d'un nœud est nulle.

• Σ U_k = 0

  Loi des mailles : La somme algébrique des tensions (U_k) le long d'une maille fermée est nulle.

• U = R × I

  Loi d'Ohm : La tension (U) aux bornes d'un dipôle résistif est le produit de sa résistance (R) et du courant (I) qui le traverse.

Variables et unités SI

Exemples industriels

EXEMPLE NUMÉRIQUE DE CALCUL DE COURANTS ET TENSIONS : Considérons un circuit simple composé d'une source de tension E1, d'une source de tension E2, et de trois résistances R1, R2, R3 interconnectées. Nous allons déterminer les courants circulant dans chaque branche en utilisant les lois de Kirchhoff. Hypothèses : - Les sources de tension sont idéales (sans résistance interne). - Les résistances sont purement ohmiques. Données : - E1 = 12 V - E2 = 5 V - R1 = 10 Ω - R2 = 20 Ω - R3 = 30 Ω Schéma du circuit (description textuelle pour l'exemple) : Deux sources de tension E1 et E2. E1 est connectée à R1. E2 est connectée à R2. R1 et R2 se rejoignent à un nœud. De ce nœud, R3 est connectée et se rejoint à l'autre extrémité des sources. Il y a donc deux mailles et deux nœuds principaux (en plus de la masse). Démarche : 1. Identification des nœuds et des mailles : - Nœud A : Jonction de R1, R2 et R3. - Nœud B : Jonction de l'autre côté de R1, R2, R3 et les sources. (Le nœud B peut être pris comme référence ou masse). - Maille 1 : E1 - R1 - R3 (en remontant vers E1). - Maille 2 : E2 - R2 - R3 (en remontant vers E2). 2. Attribution des sens de courants arbitraires : - I1 : Courant circulant de E1 vers le nœud A à travers R1. - I2 : Courant circulant de E2 vers le nœud A à travers R2. - I3 : Courant circulant du nœud A vers le nœud B à travers R3. 3. Application de la loi des nœuds au nœud A : I1 + I2 - I3 = 0 (Équation 1) 4. Application de la loi des mailles (sens horaire) : - Maille 1 (E1 - R1 - R3 - E1) : E1 - (R1 × I1) - (R3 × I3) = 0 12 - (10 × I1) - (30 × I3) = 0 (Équation 2) - Maille 2 (E2 - R2 - R3 - E2) : E2 - (R2 × I2) - (R3 × I3) = 0 5 - (20 × I2) - (30 × I3) = 0 (Équation 3) 5. Résolution du système d'équations : De l'équation 1, on a I3 = I1 + I2. Substituons I3 dans les équations 2 et 3 : Équation 2 modifiée : 12 - 10 × I1 - 30 × (I1 + I2) = 0 12 - 10 × I1 - 30 × I1 - 30 × I2 = 0 12 - 40 × I1 - 30 × I2 = 0 (Équation 4) Équation 3 modifiée : 5 - 20 × I2 - 30 × (I1 + I2) = 0 5 - 20 × I2 - 30 × I1 - 30 × I2 = 0 5 - 30 × I1 - 50 × I2 = 0 (Équation 5) Nous avons un système de deux équations à deux inconnues (I1 et I2) : (4) 40 × I1 + 30 × I2 = 12 (5) 30 × I1 + 50 × I2 = 5 Multiplions (4) par 5 et (5) par 3 pour éliminer I2 : (4') 200 × I1 + 150 × I2 = 60 (5') 90 × I1 + 150 × I2 = 15 Soustrayons (5') de (4') : (200 × I1 - 90 × I1) + (150 × I2 - 150 × I2) = 60 - 15 110 × I1 = 45 I1 = 45 / 110 ≈ 0.409 A Substituons I1 dans l'équation (4) : 40 × (45/110) + 30 × I2 = 12 1800/110 + 30 × I2 = 12 16.3636 + 30 × I2 = 12 30 × I2 = 12 - 16.3636 30 × I2 = -4.3636 I2 = -4.3636 / 30 ≈ -0.145 A Calcul de I3 : I3 = I1 + I2 = 0.409 + (-0.145) = 0.264 A Résultats : - Courant I1 ≈ 0.409 A (circule dans le sens choisi) - Courant I2 ≈ -0.145 A (circule dans le sens inverse du sens choisi) - Courant I3 ≈ 0.264 A (circule dans le sens choisi) APPLICATION INDUSTRIELLE CONCRÈTE : Les lois de Kirchhoff sont omniprésentes dans l'ingénierie électrique. Elles sont utilisées dans la conception et l'analyse de réseaux de distribution électrique, de systèmes de contrôle industriels, et de circuits électroniques complexes. Par exemple, lors de la conception d'un tableau de commande pour une machine-outil, un ingénieur utilise ces lois pour s'assurer que chaque composant (contacteurs, relais, bobines, voyants) reçoit la tension et le courant appropriés. Si plusieurs charges sont connectées à un même bus d'alimentation via des branches différentes, les lois de Kirchhoff permettent de calculer les courants totaux tirés par le bus (loi des nœuds) et les chutes de tension dans chaque branche ou le long du bus (loi des mailles), ce qui est crucial pour le dimensionnement des câbles, des protections et de la source d'alimentation. Sans ces lois, il serait impossible de prédire le comportement d'un circuit et de le concevoir de manière fiable et sécurisée.

Méthode de mesure

Vérification expérimentale des lois de Kirchhoff : 1. Construire le circuit étudié avec des composants connus (résistances, sources de tension). 2. Identifier tous les nœuds et les mailles indépendants du circuit. 3. Pour la loi des nœuds, mesurer les courants entrants et sortants de chaque nœud à l'aide d'un ampèremètre (inséré en série dans chaque branche). 4. Pour la loi des mailles, mesurer les tensions aux bornes de chaque composant (résistances, sources) à l'aide d'un voltmètre (en parallèle sur chaque composant). 5. Comparer les sommes algébriques des courants aux nœuds et des tensions dans les mailles avec la valeur théorique (zéro). Les écarts doivent être minimes et dus aux tolérances des composants et à la précision des instruments de mesure.

Instruments nécessaires

Multimètre numérique (avec fonctions ampèremètre et voltmètre), alimentation de laboratoire régulée, résistances de différentes valeurs, câbles de connexion, breadboard (ou platine d'essai) pour le prototypage.

Procédure de contrôle

1. Mettre le circuit hors tension et le consigner. 2. Vérifier visuellement l'intégrité des composants et des connexions. 3. Mesurer les valeurs des résistances à l'ohmmètre si possible. 4. Mettre sous tension et mesurer les courants dans les branches et les tensions aux bornes des composants. 5. Comparer les mesures avec les valeurs calculées théoriquement pour valider le fonctionnement du circuit ou identifier des anomalies.

Symptômes de panne

Tension incorrecte aux bornes d'un composant, courant excessif ou insuffisant dans une branche, protection (fusible, disjoncteur) qui déclenche, non-fonctionnement partiel ou total du circuit, surchauffe de composants.

Causes probables

Mauvais câblage ou court-circuit, composant défectueux (résistance coupée ou en court-circuit, source de tension en panne), erreur de conception du circuit (mauvais dimensionnement des composants), surcharge.

Erreurs fréquentes

- Oublier un signe moins lors de l'application des lois (courant sortant, chute de tension). - Ne pas choisir un sens de parcours cohérent pour les mailles ou les nœuds. - Mal identifier les nœuds ou les mailles indépendantes. - Confondre la mesure de courant (en série) et de tension (en parallèle). - Ne pas tenir compte des polarités des sources de tension lors des sommes algébriques.

Précautions de sécurité

1. CONSIGNATION : Toujours travailler sur un circuit déconnecté de toute source d'énergie et consigné avant toute intervention physique. Vérifier l'absence de tension (VAT) avant de toucher aux conducteurs. 2. ÉQUIPEMENTS DE PROTECTION INDIVIDUELLE (EPI) : Porter des gants isolants, des lunettes de sécurité et des vêtements de travail appropriés, en particulier lors de la manipulation de tensions élevées. 3. HABILITATION ÉLECTRIQUE : Seuls les personnels habilités selon les réglementations en vigueur (À vérifier selon le pays, l'installation et l'édition applicable) sont autorisés à intervenir sur des installations électriques sous tension ou à proximité. 4. OUTILLAGE ISOLÉ : Utiliser des outils conformes aux normes et isolés pour prévenir les risques de chocs électriques et de courts-circuits. 5. VÉRIFICATION AVANT TENSION : S'assurer que toutes les connexions sont correctes et sécurisées avant de mettre le circuit sous tension.

Références

• Norme NF C 15-100 (Installation électrique basse tension) — référence à vérifier
• Norme IEEE Std 100™ (Standard Dictionary of Electrical and Electronics Terms) — référence à vérifier
• Ouvrages de référence en électrotechnique et théorie des circuits (ex: 'Fundamentals of Electric Circuits' de C.K. Alexander et M.N.O. Sadiku) — référence à vérifier

Questions fréquentes

• Les lois de Kirchhoff sont-elles valables pour les circuits en courant alternatif (AC) ?

  Oui, les lois de Kirchhoff sont fondamentales et s'appliquent aussi bien aux circuits en courant continu (DC) qu'aux circuits en courant alternatif (AC). En AC, les courants et les tensions sont des grandeurs sinusoïdales représentées par des phaseurs (nombres complexes), et les résistances sont remplacées par des impédances. Les sommes algébriques deviennent alors des sommes vectorielles ou complexes.

• Peut-on utiliser les lois de Kirchhoff pour des circuits non linéaires ?

  Oui, les lois de Kirchhoff s'appliquent à tous les circuits, qu'ils soient linéaires ou non linéaires, car elles découlent des principes de conservation de la charge et de l'énergie. Cependant, la résolution des équations résultantes pour des circuits non linéaires peut être beaucoup plus complexe et nécessiter des méthodes numériques ou graphiques, car la relation U=R×I n'est plus forcément linéaire et R n'est plus une constante.

• Combien de lois de Kirchhoff y a-t-il ?

  Il y a deux lois de Kirchhoff principales pour l'analyse des circuits électriques : la loi des nœuds (ou loi des courants) et la loi des mailles (ou loi des tensions).

• Quelle est la différence entre un nœud et une maille ?

  Un nœud est un point dans un circuit où au moins trois conducteurs (branches) se rejoignent. C'est là que la loi des nœuds s'applique pour les courants. Une maille est un chemin fermé et continu dans un circuit, qui part d'un point et y revient sans passer deux fois par le même nœud ni le même composant. C'est le long d'une maille que la loi des mailles s'applique pour les tensions.